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sexta-feira, janeiro 02, 2009

Natalie Portman e a raiz de 2


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Em dias de maquininhas e calculadoras virtuais no computador, seria totalmente anacrônico ensinar como calcular a raiz quadrada de um número usando lápis e papel. Mas imagine que o seu avião caiu em uma ilha deserta e os únicos sobreviventes são você e Natalie Portman. Você fica todo animado mas ela lhe diz que só vai sair com você se você lhe fornecer a raiz de 2 com 8 casas decimais (Natalie Portman é uma verdadeira nerd, não?). Então a questão se reduz a: como sair com Natalie Portman?

Com essa motivação (ou talvez você fosse Pitágoras tentando calcular a raiz de 2!), você começa pensar (desesperadamente). Vou lhe ensinar um jeito que não sei se era o método que aprendi no colégio (eu me esqueci totalmente do tal método, talvez porque Natalie Portman nunca quis sair comigo).

A solução depende de uma aproximação bastante fácil de entender:



quando b < a . Para se convencer que é uma aproximação razoável, calcule o quadrado nos dois lados:

,


onde usamos a regra do quadrado da soma . Como o terceiro termo é desprezível se a for razoavelmente menor que b, os dois lados são aproximadamente iguais e portanto a aproximação (1) é válida.

OK, Natalie Portman ainda está esperando. Mas então, se você escrever seu número n na forma , a raiz desse número será aproximadamente , o que é fácil de calcular sem maquininha. Vamos supor que você quer calcular a raiz de 10. Sendo esperto, você vai usar um número a^2 bem próximo de 10, a fim de que b seja pequeno, por exemplo , de modo que a=3 e b=1. Assim, usando a aproximação (1) temos:

.

O valor correto para oito casas decimais é 3,16227766. Bom, você acertou as primeiras duas casas decimais e começa a ficar animado, embora Natalie esteja começando a bocejar.

Como aumentar a precisão? Simples, embora você tenha que fazer contas de multiplicação com oito casas decimais (mas isso dá pra fazer com papel e lápis). Melhor ainda é conservar os número em forma de fração. Use o valor encontrado como um novo número a, ou seja, você repete o procedimento usando a = 19/6, de modo que b deve ser:



OK, usando esses novos valores de a e b em (1) obtemos:

.

Ou seja, agora você obteve quatro casas decimais corretas. Se você usar este novo resultado como sendo o número a, ou seja, repetindo novamente o procedimento (cada repetição é chamada de “iteração”), você obterá 3,16227766, ou seja, o valor correto com 8 casas decimais.

Seu método funciona, com apenas três iterações! Natalie Portman está no papo!

Mas espere, ela pediu pitagoricamente a raiz de 2, não a raiz de 10. Bom, neste caso você poderia escrever , ou seja, a =1 e b = 1. Não fica claro se vai funcionar, pois agora b não é menor que a . Mas você valentemente vai em frente, usando um método mesmo que a princípio não pareça ser matematicamente justificável (esse é o espírito dos físicos, vide o método de réplicas!), de modo que você obtém:

,

o que é uma primeira aproximação para o valor verdadeiro 1,41421356. Usando agora a = 3/2:

,

.

Ufa, obtivemos duas casas decimais. A convergência para o valor verdadeiro é mais lenta, pois 2 é um número pequeno.

Em todo caso, você me acreditaria (como diria Maxwell Smart) que após quatro iterações se obtém o valor correto para oito casas decimais?

Acho que com papel e lápis você faz essas quatro iterações em cerca de uma hora. Daí você gasta mais uma hora explicando o método para Natalie Portman. Você se anima e mostra que quanto maior o número, mais rápido o método, por exemplo, a raiz de 450 é fácil de calcular (você leva mais uma hora fazendo isso).

Com um pouco de álgebra você descobre uma demostração de que o erro cometido com apenas uma iteração decai com 1/(2n). Mais duas horas para mostrar isso para Natalie. Daí você explica que o método funciona para números menores que 1, por exemplo dá para calcular a raiz de 0,1 (mais duas horas para isso), só que você precisa de mais iterações (a convergência fica lenta para números entre 0 e 1).

Então a noite acaba, ou melhor, o helicóptero de resgate os localiza. E você fica pensando que Natalie Portman é bem mais inteligente do que você imaginava...







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