O poder do campo médio

Marco Moriconi, no Fórum de física da UFF, colocou um problema desafio:

Pegue uma moeda honesta. Em média, quantas vezes você tem que jogá-la até obter duas caras seguidas?

Naquele site, Rodrigomp deu uma solução elegante, exata e complicada envolvendo a série de Fibonacci.

Que tal uma solução simples mas "errada" (ou melhor, aproximada diria um físico)? Notação científica em LaTex, OK?

Lower bound: Denote B = evento cc, que possui probabilidade 1/4, e A o complemento de B.

Divida a série temporal em pacotes de dois eventos simples (k ou c). A série temporal fica:

E_1 E_2 E_3 ... (1)

Precisamos somar as probabilidades de ocorrências do tipo B, AB, AAB, AAAB etc.

P(B) = 1/4, P(AB) = 3/(4.4), P(AAB) = 3.3(4.4.4) etc. Em geral: P(A^n B)= 1/4 (3/4)^n.

Note que o número de jogadas necessárias é:

N_L= 2(n+1) = 2 E(n) + 2, onde E(n) é o valor esperado (médio) de n. Mas:

E(n) = 1/4 \sum_0^\infty n (3/4)^n = 1/4 [1/(1-3/4)] = 1.

Assim, o lower bound é N_L = 4.

Upper bound: Esquecemos de contar a possibilidade de ocorrencia do evento B nas seguintes séries temporais:

k E_1 E_2 ... e c E_1 E_2... (2)

Em ambos os casos temos P = 1/2 * P(A^n B). Fazendo a média neste caso temos E(n+1) = 4 de novo. Ou seja, N_U = N_L + = 8 .

Obviamente estamos agora contando demais as possíveis histórias, pois existem séries tipo (2) que são equivalentes a séries tipo (1). Assim, um bom físico (não matemático), faria a interpolação entre N_Lower e N_Upper:

N = (N_L + N_U)/2 = (4+8)/2 = 6 ,

que é a solução correta!

Marco, eu não estou concorrendo à revista, e acredito que esta não é a solução que voce quer dos estudantes (afinal, é necessário ainda justificar a tal interpolação com um argumento rigoroso). Mas como imagino que ninguém iria fazer um cálculo tão "idiota" como este (e que no entanto mostra muito do espírito das estratégia das aproximações usadas em física estatística), resolvir postar aqui...

Alguém poderia encontrar e comentar aqui qual é o argumento que justifica a interpolação?

PS: O que a Natalie Portman tem a ver com a série de Fibonacci? Veja aqui.

PS2: Na verdade, se dividissemos a série em "pacotes" superpostos de dois bits, ou seja, se supormos que o primeiro bit de E_2 corresponde ao segundo bit de E_1, etc, e desprezando as correlações (ou seja, justamente que tais bits são iguais), teremos o resultado de "campo médio", que corresponde ao lower bound encontrado acima:

N_MF = 2*E(n+1) = 4, que não é nada mal para uma primeira aproximação.