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quarta-feira, abril 09, 2008

Problema desafio


Vou oferecer um livro aqui (e colaboração num paper).


Para um dado (ou cubo) com densidade uniforme, a probabilidade de sair uma face é 1/6. Agora considere um paralelepípedo com lados a x a x b. Temos dois tipos de faces, uma com área A= a^2 e uma com área B = ab. Será possivel calcular a partir de primeiros princípios qual a probabilidade de ocorrência de cada tipo de face?


Para ter idéia da função P(B) em função da razão b/a basta fazer um experimento, ou seja, ir variando essa razão em um paralelepípedo de densidade uniforme e fazer a estatística correspondente da frequência relativa de ocorrência das faces. Alguém se dispõe a fazer isso? Acho que este problema vale um Stanislaw Lem: "His Master Voice" é uma boa pedida...


Obviamente, se for possível realizar o cálculo, então deve ser fácil generalizar o problema para três faces diferentes, densidade não uniforme em um cubo etc. Não sei não, calcular resultados estocásticos a partir de mecânica newtoniana me parece algo muito difícil. Esse problema me cheira um PRL.

2 comentários:

Leo disse...

Uma primeira tentativa, talvez ingênua, seria estimar as probabilidades como proporcionais a área das partições da esfera circunscrita ao dado, demarcadas pelas semi-retas que ligam o centro de massa aos pontos das arestas. Creio que isso equivalha a soltar o dado em repouso próximo da superfície onde irá cair.

Acho que isto está razoavelmente próximo de primeiros princípios, reduzindo-o basicamente a uma questão de torque.

É claro que o problema se torna muito mais difícil se se considerar um lançamento oblíquo com resistência do ar, atrito da mesa, distorções do impacto, etc...

OK disse...

Leo disse: "É claro que o problema se torna muito mais difícil se se considerar um lançamento oblíquo com resistência do ar, atrito da mesa, distorções do impacto, etc..."

Leo, o interessante é que não se considera nada disso quando se pensa no dado perfeito. Argumentos de simetria são poderosos, não?