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domingo, janeiro 07, 2007

Caça Níqueis e Vôos de Levy

Jogos quase-críticos

Ok, ok, eu sei que encontrar fenômenos críticos e quase-críticos [1,2,3,4] é uma de minhas (muitas) obsessões, mas isso não vem ao caso agora. Fica aqui para registro uma coisa que o dono do Bingo Avenida contou para a Nice: o retorno das máquinas eletrônicas dos caça-níqueis é de 98%, ou seja, de cada cem reais apostados, em média, a casa fica com dois reais.

Bom, para os entendidos que sabem como o desenvolvimento da teoria de probabilidades se deve à ambição dos matemáticos em entender os jogos de azar (e talvez ganhar ou pelo menos perder mais devagar), isso não seria novidade. Afinal, um exemplo clássico de passeio aleatório se chama "ruína do jogador" onde se calcula, dado um certo jogo de azar tendencioso, quanto tempo leva para que um jogador com uma quantia inicial R(0) perder tudo.

Eu testei isso em uma máquina caça-níqueis que fazia apostas de 1 centavo. Botei R(0) = dez reais e fiquei medindo (no modo automático da máquina) o passeio aleatório R(t) do meu dinheiro. Isso pode ser visto no gráfico abaixo. Se eu esperasse até retornar ao meu valor inicial, ou seja, até um tempo t* tal que R(t*) = R(0) pela primeira vez, isso definiria o assim chamado tempo de retorno t*. Obviamente, se o seu dinheiro não é infinito, mais cedo ou mais tarde vai ocorrer uma flutuação tal que R(t) = 0 com t menor que t*, ou seja, você tentou recuperar seu dinheiro e perdeu até as calças...

Os matemáticos e físicos costumam calcular, dada uma certa máquina ou situação, o correspondente tempo de retorno médio E[t*] (lê-se "valor esperado de t*"). Ok, não fui bobo, não fiquei jogando até t* ou até perder tudo: uma vez que por acaso minha quantia inicialmente subiu, eu apenas esperei que ela descesse para doze reais (ou seja, minha pesquisa deu lucro neste caso!).


[Ponho o gráfico mais tarde aqui, problemas no Blogger ou no tamanho do arquivo]


Bom, vamos definir a taxa de retorno sigma = dinheiro apostado/dinheiro ganho. Podemos pensar nela como o análogo de uma taxa de reprodução em dinâmica de populações. Se sigma > 1, o seu dinheiro cresceria, em média, exponencialmente com o tempo, o que obviamente a casa de Bingo nunca deixaria acontecer. Mas se sigma for muito menor que 1 então o tempo de ruína do jogador seria muito pequeno, ou seja, as pessoas perderiam tão rápido seu dinheiro que ficaria patente que não vale a pena jogar.

Assim, do ponto de vista da casa, a melhor opção seria um jogo de azar levemente sub-crítico onde as pessoas perdem em média, mas em um prazo longo. Além disso, em um jogo quase-crítico, apareceriam as flutuações críticas, ou seja, tempos de retorno distribuidos aproximadamente em forma de lei de potência, o que significa que, sim, devido a essas flutuações, os ganhos e perdas não são uniformes no tempo e na população: algumas pessoas realmente ganham enquanto que a maioria perde.

Ok, mas isso é conhecido da teoria de passeios aleatórios. Mas o elemento novo do qual não tinha me dado conta era de que forma os bônus e pêmios entram nesse esquema. O que podemos ver no gráfico é que, sim, a máquina tem uma (forte) tendência a tirar dinheiro do jogador no curto prazo (os pequenos passos sempre decrescentes) mas, eventualmente, aparecem os prêmios (bônus, etc) que são grandes passos para cima. Ora, isso me parece um passeio aleatório tendencioso com vôos de Levy, vocês não acham?

Assim, os bônus são vôos de Levy que fazem duas coisas: 1) produzem a recompensa dopaminergica no jogador (e eventualmente seu condicionamento ou mesmo vício patológico); 2) Sem os vôos de Levy, teriamos um jogo fortemente subcrítico, mas os o valor dos bônus (voos de Levy) são calculados de tal forma a tornar a taxa de retorno sigma próxima de um.

Ou seja, eu posso ter um jogo honesto (crítico, sigma = 1) ou que favoreça levemente a casa (sigma quase-crítico) que equivaleriam a passeios aleatórios com flutuações críticas etc. Mas como tais jogos seriam passeios aleatorios com distribuição Gaussiana de passos (perdas e ganhos), imagino que tais jogos seriam muito chatos: você nunca perde muito ou ganha muito, não há muita surpresa, risco ou emoção. Por outro lado, com os vôos de Levy positivos (bônus), as experiências de ganho se tornam memoráveis enquanto que as experiências de perda acabam sendo esquecidas. Mais memoráveis ainda é ganhar o prêmio acumulado, mas discutirei isso em outro post.

Disso concluo o seguinte: aplicar na poupança é como um jogo com sigma levemente maior que um (por exemplo, ganhos de 1% ao mês equivalem a sigma = 1.01) porém sem vôos de Levy; especular na Bolsa, por outro lado, também é um jogo quase-crítico (porque a economia cresce, mas lentamente) porém a presença dos vôos de Levy (positivos e negativos) é essencial. É por isso que as pessoas se viciam a jogar na Bolsa de Valores: sem (grandes) perdas e ganhos, seria uma aplicação financeira tão chata como as aplicações "seguras".


Mas por que eu gastaei tanto tempo com isso? Bom, estou preparando a primeira aula dos cursos de Estatística para Psicologia e Estatística para Economia que darei no próximo semestre. E, desde o meu mestrado, trabalho com teoria de aprendizagem, e fica patente que o prazer (recompensa) intermitente, muitas vezes mesclado com frustrações, é uma das maiores fontes de incentivo ao aprendizado. Afinal, você nunca observou seus filhos aprendendo um jogo novo de video-game? Se o jogo for fácil demais, educativo e politicamente correto, não tem graça. Mas se ele tiver o nível certo de desafio e rebeldia contestatória, então sai da frente...
PS: Como todo mundo diz que Física Estatatística não serve para nada, não tem impacto social ou de mercado etc, fiquei pensando aqui se pelo menos não daria para aperfeiçoar as máquinas caça-níqueis usando-se os princípios da Teoria de Fenômenos Críticos. Que grande "impacto social" isso teria, não é mesmo? Após o devido patenteamento, os brasileiros passariam de importadores a exportadores de máquinas caça níqueis (produzidas atualmente na China comunista).

Referência: Os Axiomas de Zurich, que o Alexandre Martinez me deu para ver se eu saio do cheque especial e comece a fazer aplicações financeiras (suponho que em 2020...). Sim, os axiomas (na verdade são explicitações do conhecimento tácito de banqueiros suíços) são Maquiavélicos e provavelmente corretos, e alguns são moralmente repugnantes, eu sei, eu sei...

Random number generator


It is a common belief that the odds on a machine have something to do with the number of each kind of symbol on each reel, but in modern slot machines this is no longer the case. Modern slot machines are computerized, so that the odds are whatever they are programmed to be. In modern slot machines, the reels and lever are present for historical and entertainment reasons only. The positions the reels will come to rest on are chosen by a Random Number Generator (RNG) contained in the machine's software. This is called "virtual reel" technology.


The RNG is constantly generating random numbers, at a rate of thousands to millions per second. As soon as the lever is pulled or the "Play" button is pressed, the most recent random number is used to determine the result. This means that the result varies depending on exactly when the game is played. A fraction of a second earlier or later, and the result would be different. Some professional gamblers believe that the RNG does not actually generate random numbers. Some scientists believe that computers can not generate a random number. [Achei estas frases em vermelho muito cheias de relativismo cultural... afinal, os RNG geram ou não números aleatórios? Assim, editei a Wiki explicitando "a crença dos cientistas" de que os números aleatórios criados por RNGs realmente são pseudoaleatórios, mas que isso não importa no caso das máquinas caça-níqueis dado que a seleção de um dado número em uma jogada (em vez da geração da série de números) é devida ao processo de decisão do jogador, que passa por flutuações caóticas e mesmo quânticas desde o processamento de informação cerebral até o acoplamento mecânico-muscular com o botão da máquina etc.] Many cheaters of slot machines have found out an equation for specific gambling machines such as "Keno" and have learned to predict the next set of numbers by inserting the last Keno numbers into the equation.

Payout percentage


Slot machines are typically programmed to pay out as winnings between 82 to 98 percent of the money that is wagered by players. This is known as the "theoretical payout percentage". The minimum theoretical payout percentage varies among jurisdictions and is typically established by law or regulation. For example, the minimum payout percentage in Nevada is 75 percent and in New Jersey is 83 percent. The winning patterns on slot machines, the amounts they pay, and the frequency at which they appear are carefully selected to yield a certain percentage of the cost of play to the "house" (the operator of the slot machine), while returning the rest to the player during play.

Suppose that a certain slot machine costs $1 per spin. It can be calculated that over a sufficiently long period, such as 1,000,000 spins, that the machine will return an average of $950,000 to its players, who have inserted $1,000,000 during that time. In this (simplified) example, the slot machine is said to pay out 95%. The operator keeps the remaining $50,000. Within some EGM-development organizations this concept is referred to simply as "par". "Par" also manifests itself to gamblers as promotional techiniques: "Our 'Loose Slots' have a 93% Pay-back! Play now!" As an aside, the "Loose Slots" actually may describe an anonymous machine in a particular bank of EGMS.

A slot machine's theoretical payout percentage is set at the factory when the software is written. Changing the payout percentages after a slot machine has been placed on the gaming floor requires a physical swap of the software, which is usually stored on an EPROM but may be downloaded to Non-Volatile Random AccessMemory (NVRAM) or even stored on CD-ROM or DVD depending on the technological capabilities of the machine and the regulations of thejurisdiction. Based on current technology, this is a time consuming process and as such is done infrequently. In certain jurisdictions, such as New Jersey, the EPROM is sealed with a tamper-evident seal and can only be changed in the presence of Gaming Control Board officials. Other jurisdictions, including Nevada, randomly audit slot machines to ensure that they contain only approved software.

2 comentários:

Kynismós! disse...

É quase-crítico, assim como quase-equilíbrio, quase-estático, etc., a menos que estejas escrevendo em outro idioma que não seja o português.

Osame Kinouchi disse...

Obrigado, Krishna, realmente eu estava na duvida sobre como escrever isso...