Como tirar a raiz quadrada sem maquininha

Para meus alunos de Física II:

Suponha que você queira tirar a raiz de X

Escreva X como Q+ R, onde Q = n^2 é o quadrado mais próximo de X.

Exemplo: X = 39. Escrevemos X = 6^2 + 3.

Dai você pode escrever a raiz como: n * raiz(1+R/Q) = n raiz (1+b). No nosso exemplo, b = 3/36 = 1/12

Uma aproximação até primeira ordem é:

raiz(1+b) = 1 + b/2

No nosso exemplo: raiz(39) = 6*(1+1/24) = 6,25.

Usando uma calculadora, obtemos: raiz de (39) = 6.24498. Um erro de 0.08%.

Uma aproximação para raiz de (1+b) até segunda ordem é:

raiz(1+b) = 1 + b/2 - (b^2)/8

Ela é obtida escrevendo raiz(1+b) = 1 + Ab + Cb^2. Eleve ao quadrado dos dois lados, despreze os termos em b^3 e b^4, e iguale os coeficientes para achar A= 1/2 e C = - 1/8

Assim, use isso em geral. Quanto menor o b, melhor o resultado.

No nosso exemplo:

raiz(39) = 6 raiz (1 + 1/12) = 6 (1 + 1/24 - 1/(144*8) ) = 6.24479

Ou seja, um erro de 0.003%. Quanto mais perto n^2 estiver de X, melhor o resultado.

Problema 1: Encontre a expansão que inclua termos em b^3. Calcule raiz de 39 nessa aproximação.

Problema 2: Encontre uma fórmula que encontra o X que apresenta o maior erro entre dois quadrados consecutivos n^2 e (n+1)^2

Sinceramente, acho isso bem mais fácil (e preciso) do que o algoritmo tradicional (que aprendi na escola e já tinha esquecido!). Ver aqui.