Como tirar a raiz quadrada sem maquininha
Para meus alunos de Física II:
Suponha que você queira tirar a raiz de X
Escreva X como Q+ R, onde Q = n^2 é o quadrado mais próximo de X.
Exemplo: X = 39. Escrevemos X = 6^2 + 3.
Dai você pode escrever a raiz como: n * raiz(1+R/Q) = n raiz (1+b). No nosso exemplo, b = 3/36 = 1/12
Uma aproximação até primeira ordem é:
raiz(1+b) = 1 + b/2
No nosso exemplo: raiz(39) = 6*(1+1/24) = 6,25.
Usando uma calculadora, obtemos: raiz de (39) = 6.24498. Um erro de 0.08%.
Uma aproximação para raiz de (1+b) até segunda ordem é:
raiz(1+b) = 1 + b/2 - (b^2)/8
Ela é obtida escrevendo raiz(1+b) = 1 + Ab + Cb^2. Eleve ao quadrado dos dois lados, despreze os termos em b^3 e b^4, e iguale os coeficientes para achar A= 1/2 e C = - 1/8
Assim, use isso em geral. Quanto menor o b, melhor o resultado.
No nosso exemplo:
raiz(39) = 6 raiz (1 + 1/12) = 6 (1 + 1/24 - 1/(144*8) ) = 6.24479
Ou seja, um erro de 0.003%. Quanto mais perto n^2 estiver de X, melhor o resultado.
Problema 1: Encontre a expansão que inclua termos em b^3. Calcule raiz de 39 nessa aproximação.
Problema 2: Encontre uma fórmula que encontra o X que apresenta o maior erro entre dois quadrados consecutivos n^2 e (n+1)^2
Sinceramente, acho isso bem mais fácil (e preciso) do que o algoritmo tradicional (que aprendi na escola e já tinha esquecido!). Ver aqui.
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